MÉCANIQUE

I- DÉFINITIONS :
       1- Définition :
      On appelle oscillateur harmonique tout système mécanique ou électrique dont l'évolution ( de la position, de la vitesse ou de l'accélération) est fonction sinusoïdale du temps (sinus ou cosinus).
Exemple :
¨ Masse fixée à l'extrémité d'un ressort.
¨ Pendule de torsion.
¨ Circuit électrique L C.
L'évolution du système est la solution générale d'une équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants du type :

a, b, c sont des constantes qui caractérisent le système et f (t) correspond à l'action du milieu extérieur sur le système ( force, couple, ddp).

Si    

L'équation définit les mouvements propres du système dont les solutions forment un espace vectoriel de dimension 2. 

Si (s₁(t) , s₂(t)) est une base, alors est la solution générale de l'équation .
La recherche des solutions de l'équation sous la forme de , montre que r doit être solution de l'équation caractéristique associée :

Les racines de cette équation dépendent de la valeur du discriminant : 

Solution générale de = solution générale de + solution particulière de

Remarques :
Dans   si b = 0 et f (t) = 0    Þ   Oscillations harmoniques libres ( pures )
Dans   si b ¹ 0 et f (t) = 0   Þ    Oscillations amorties
Dans si b = 0 et f (t) ¹ 0    Þ    Oscillations forcées

II- LES OSCILLATIONS :
    Modèle physique

¨ Dans une oscillation pure on a conservation d'énergie.
¨ Dans une oscillation amortie on a dissipation d'énergie.
¨ Dans une oscillation couplée on a échange d'énergie.
¨ Dans une oscillation forcée on a apport d'énergie.
Remarque :
Un pendule n'est pas un oscillateur harmonique si l'angle q est grand ( si q est petit, on peut le considérer comme oscillateur harmonique).

III- OSCILLATION HARMONIQUE :
       1- Formulation mathématique :
Si la variable s est une fonction sinusoïdale du temps

C'est l'équation différentielle d'évolution du système :
A : amplitude > 0
s : l'élongation
w : pulsation

2- Exemples :
       a- Oscillateur rectiligne : ressort

Une masse m est accrochée à une des extrémités du ressort, on constate que le ressort exerce sur elle une force de rappel ( donnée par la loi de Hooke) :

     b- Mouvement harmonique de rotation :

Dans une oscillation de torsion, on a un couple de rappel proportionnel à q. Ce couple a pour expression :
                 

3- Énergie mécanique d'un oscillateur harmonique :
           a- Oscillateur harmonique linéaire :

avec

On obtient : 

           b- Oscillateur harmonique de rotation :

même calcul, on obtient:      

IV- OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI :
            1- Cas d'un ressort :
La masse m est soumise à son poids, à la réaction et à la force de rappel. Mais dans la pratique d'autres forces peuvent s'exercer sur l'oscillateur harmonique qui tend à réduire l'amplitude des oscillations successives : ces forces s'appellent forces d'amortissement, elles peuvent être proportionnelles à la vitesse :

V- OSCILLATIONS FORCÉES :
Dans le cas du ressort on applique sur la masse m, en plus de la force de rappel et de la force d'amortissement, une force : 

VI- PENDULE SIMPLE: mouvement pseudo-sinusoïdal :
· On considère une masse m accrochée à un fil inextensible et sans masse.
· On note q l'angle du fil avec la verticale, q₀ l'angle initial et v₀ = 0
bilan des forces :

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