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CHAPITRE
V:
TOPOLOGIE DES CIRCUITS
ÉLECTRIQUES
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Topologie
= étude des lieux
Topologie des circuits électriques = étude de la géométrie des réseaux.
3.1 Définitions topologiques
Considérons pour fixer les idées, le circuit électrique de la
figure ci-dessous :
Au point de vue de la topologie, on appelle branche l'ensemble des éléments
constituant un dipôle, c'est-à-dire terminé par deux bornes. Par définition
le courant entrant est égal au courant sortant. Une branche d'un
circuit électrique est orientée par souci d'uniformité, on adoptera
la convention, des branches actives.
Les branches sont réunies aux nœuds du circuit. Topologiquement, ces
nœuds se ramènent à un point (physiquement ils sont constitués par
des bornes, des soudures, des pinces…).
A tout nœud s'applique la relation de Kirchhoff : ∑
I = 0 ou de façon plus explicite ∑I
convergents = ∑I
divergents.
Tous les raisonnements topologiques peuvent se faire sur le graphe
orienté, figure géométrique dont la topologie est celle du circuit,
sens compris (voir fig ci-dessous)
Ce graphe se construit de la façon suivante : à tout nœud du
circuit électrique, on associe un point ou sommet ; à toute branche
joignant deux nœuds on fait correspondre un trait joignant les
sommets homologues. On choisit sur ce trait la même orientation que
celle de la branche physique correspondante.
Comme on le voit ce graphe constitue une abstraction topologique du
circuit au réseau physique respectant toutes les appartenances entre
branches et noeuds.
- 
- Un cycle est un sous graphe constitué par l'ensemble
des branches du réseau ou du graphe orienté, partant d'un nœud et y
revenant (Exemple : ECD ou ABED). Un cycle est parcours du réseau
fermé.
La deuxième loi de Kirchhoff s'y applique ; U étant la tension entre
bornes des branches et tenant compte des signes :
∑
U = 0 sur un cycle
Exemple :
Sur le cycle de ECD : Ue + Uc + Ud = V(D) - V(C)+V(E)-V(D)+V(C)-V(E)=
0
- Un arbre d'un graphe est un sous graphe  A
Î
connexe, sans cycle et touchant tous les nœuds de .
Un arbre est obtenu en joignant tous les nœuds sans omission ni
interruption et sans former de cycles.
Exemples d'arbres : A1
= {abcd } ; A2
= {edfg } ; A3
= {bfgh }.
Soit N le nombre de nœuds : le nombre de branches appartenant à
l'arbre sera : (N-1).
Tout maillon définit un cycle appelé maille, relativement à un
arbre A.
Soient en effet A et B les sommets du maillon. Par définition même
de l'arbre, il est toujours possible de passer de A à B en
n'empruntant que des branches de l'arbre, donc le parcours ABA est
fermé et constitue un cycle. Ex : maille bef.
La réciproque n'est généralement pas exacte en ce sens qu'un
parcours fermé sur le graphe peut emprunter plusieurs maillons. Dans
la suite nous ne considérons comme mailles d'un circuit électrique
que les cycles ne comprenant qu'un seul maillon.
Arbre A
= {edfg }
Maillons : a, b, c, h
Co-arbre : M
= {a, b, c ; h }
Mailles : {a, f, g } ; {b, e, f } {c, d, e }; {h, d, g }
Quel est le nombre de mailles d'un réseau comprenant B branches et N
noeuds ?.
Le nombre de maillons (de mailles) M = B - (nombre de branches
appartenant à l'arbre) Soit :
M = B - (N - 1) = B - N + 1
Marche à suivre :
1 - On dessine le graphe du réseau donné,
en fixant un sens conventionnel
de circulation aux courants de branches
2 - On choisit un arbre sur ce graphe
3 - Les M = B - N + 1 maillons définissent
M mailles.
3.2 Première matrice topologique
: la matrice d'incidence A
Prenons comme support de raisonnement un réseau dont le graphe est
celui de la figure ci-dessous:
Appelons Ua, Ub…Uh les tensions de branches
Ia, Ib,…Ih les courants de branches
V1, V2,…V5 les potentiels des nœuds 1, 2, 3, 4, 5.
Chaque colonne spécifie pour un nœud donné, les branches qui y
aboutissent le signe + indique que le courant arrive au nœud, le
signe - qu'il s'en éloigne. La connaissance d'une matrice d'incidence
A permet de construire immédiatement le graphe du réseau
correspondant.
Relations
entre tensions de branches et potentiels des nœuds.
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