THERMODYNAMIQUE

EXERCICE 1:     Cycle de Beau de Rochas ou Otto

          Pour faire fonctionner une moissonneuse-batteuse, on utilise n moles d’un gaz parfait qui décrivent le cycle de Beau de Rochas dans le sens indiqué sur la figure. Les transformations DA et BC sont des adiabatiques alors que les transformations CD et AB sont des isochores. On désigne par a =V₂ / V₁  le rapport des volumes (taux de compression). C_v est supposé constant pendant tout le cycle.

1– Exprimer la quantité de chaleur reçue par le gaz pendant l’explosion AB en fonction de T_A  et T_B .

2– Déterminer le travail W fourni pendant le cycle en fonction des températures.

3– En déduire le rendement du cycle en fonction des températures.

4– Montrer que ce rendement s’exprime simplement en fonction de  a et de g 

5– Donner l’expression de la variation d’entropie au cours des différentes transformations

Application numérique :  a = 9 ;  g = 1,4.

Solution 1 :

1- S’il y a n moles de gaz parfait dans le cylindre on a :

   Q_AB  =  n C_V ( T_B  -  T_A )          Q_AB  est positif              

2- W_AB  =  W_CD  =  0 puisque AB et  CD sont isochores.

      W_BC  =  DU_BC  =  n C_V ( T_C  -  T_B )  puisque BC est adiabatique.

      W_DA  =  DU_DA  =  n C_V ( T_A  -  T_D )  puisque DA est adiabatique.

      W      = W_BC  +  W_DA  = n C_V ( T_C  -  T_B  +  T_A  -  T_D )   négatif.

3-  h  =    =    = 

4-    =    et    = 

     D’où   =    =  =  a^{( 1 - g)}  et  h  = 1 - a^{( 1 - g)}  =  0,585

DS_AB = n C_V ln  ;  DS_BC = 0 ;   DS_CD  =  n C_V ln   et   DS_DA = 0 

EXERCICE 2:

Une centrale thermique électrique, qu’elle soit alimentée en combustible nucléaire ou fossile, est une machine thermique qui fonctionne selon le cycle de Carnot entre la température du réacteur (ou du foyer) et celle du milieu ambiant représenté en général par un fleuve (ou une autre masse d’eau). On considère une centrale nucléaire moderne de 750000 KW ; la température du réacteur atteint 315 °C et on dispose d’un fleuve à 21 °C.

1– Quel rendement thermique maximal peut-on obtenir de la centrale et quelle quantité minimale de chaleur doit être rejetée dans le fleuve ?

2 – Si le rendement théorique effectif de la centrale est 60 % du rendement théorique maximal, quelle quantité de chaleur doit être rejetée dans le fleuve et quelle sera l’augmentation de la température de ce dernier si son débit est 165 m³ / s ?

Solution 2 :

  Cycle de Carnot  Þ =  voir le cours     

1- Le rendement r  =    = 1 -  =  1 -  = 0,5

Dans ce cas   50 % de chaleur sont convertis en travail et 50 % de chaleur sont rejetés dans le fleuve, 

or W  =  750 000 kW = 760 10⁶ J / s et = 0,5 avec DU  = W + Q₁ + Q₂  =  0

D’où  Q₂  =  750 000 KW  =  750 10⁶ J / s

2- Si le rendement réel h  =  60 % de la valeur théorique, on a h  =  0,6r  =  0,6 ´ 0,5  =  0,30

or  h  =    Þ    =    =    =  2,5 10⁹ J / s

Les 70 % de cette quantité qui ne sont pas convertis en travail, sont rejetés dans le fleuve , donc :

             Q₂  =  0,7 ( 2,5 10 ⁹ )  =  1,75 10⁹ J / s  = 1750 000 KW

On a le débit 165 m³ / s  =  165 10³ kg / s  ; puisque Q₂  =  m C DT

              DT  =   =   =  2 ,54 °K

Cette élévation de température provoquée par une centrale thermique est appelée aussi pollution thermique.