THERMODYNAMIQUE

EXERCICE 1:
             Un compresseur formé par un récipient, fermé par un piston mobile, contient 2 g de l’hélium ( gaz parfait, monoatomique ) dans les conditions ( P₁ , V₁ ). On opère une compression adiabatique, de façon réversible, qui amène le gaz dans les conditions ( P₂ , V₂ ). Sachant que  P₁ = 1 atm, V₁= 10 litres et P₂ = 3 atm. Déterminer :

a - Le volume final V₂ ? 
b - Le travail reçu par le gaz ? 
c - La variation d’énergie interne du gaz ?

d - En déduire l’élévation de température du gaz, sans calculer la température initiale T₁

 On donne :
- le rapport des chaleurs massiques à pression et volume constants: g == 
- constante des gaz parfaits : R = 8,3 S.I.

Solution 1: 

a- on a P₁  = P₂ soit V₂ = V₁  d’où V₂ = 10 = 5,16 l 

b- Pour une transformation adiabatique on écrit :
     W = - avec P = cte = K1 d’où W = - = j  

        W =  = 822 J    

c- La variation de l’énergie interne est égale à :

    U₂ - U₂ = W + Q = W ( car Q = 0 ) ; donc   U₂ - U₁ = 822 J 

d- Pour   n moles de gaz parfait, on a : 
                  U₂ - U₂ = W = n C_V ( T2 – T1 )     k 

     or  g =   et  C_P - C_V  = R ( pour une mole ) Þ C_V =
d’où k Þ W = n  ( T2 – T1 )                l

  ou bien ( T2 – T1 ) =                            ( T2 – T1 ) = 132 ° K 

   autre méthode : Dans j on remplace  P V = n R T et on trouve l

EXERCICE 2:

             Pour vérifier que la quantité de chaleur est une fonction qui dépend du chemin suivi, on considère un gaz parfait diatomique ( C_V = 5/2 R ) qui est porté réversiblement d’un état initial i à un état final f par 3 chemins différents i®a®f, i®b®f, i®c®f .
·  i®a®f : isochore suivie d’une isobare 

·  i®b®f : isobare suivie d’une isochore 

·  i®c®f : chemin rectiligne direct.  
Calculer la quantité de chaleur échangée dans les trois cas en fonction de la température de l’état initial T_i sachant que : P_f= 2 P_i et V_f = 2 V_i . Conclusion ?.

Solution 2: 

      La quantité de chaleur élémentaire peut s’exprimer en fonction de deux variables que l’on choisira. Les trois formes classiques sont (pour 1 mole) : 

            dQ = C_V  dT  +  l dT

             dQ = C_P  dT  +  h dT  

            dQ =  l dP   +  m dV

¨ i®a®f : isochore suivie d’une isobare 

Q = = + = C_V ( T_a – T_i ) + C_P ( T_f - T_a ) j

En f on a P_f V_f = R T_f   et en i on a P_i V_i = R T_i  d’où T_f = 4 T_i 

De même en a on a P_f V_i = R Ta  (car P_f = P_a isobare et V_a = V_i   isochore ) 

Dans j on a Q = C_V ( 2T_i – T_i  ) + C_P ( 4T_i - 2T_i  ) ;  or C_V = R et C_P = R d’où                                                                         Q = R T_i

¨ i®b®f : isobare suivie d’une isochore     On trouve    Q = R T_i

     ¨  i®c®f : chemin rectiligne direct. 
                      dQ = l dP + m dV = C_V dP + C_P dV  
          or P = k V car c’est une transformation linéaire 

               dQ = C_V k dV + C_P k dV = ( C_V + C_P )V dV 
            Q = ( CV + CP )V= ( CV + CP ) k

                 or  k V_i = R T_i   d’où                                          Q = R T_i

 Conclusion :  dQ n’est pas une différentielle totale exacte.